1 - Fiche descriptive

Langue

Cette matière est enseignée en français.

Objectifs

L’objectif de ce module est de développer les méthodes pour la résolution de systèmes linéaires ainsi que pour la résolution de problèmes aux valeurs propres.

Programme/Contenu

Ce cours permettra aussi, en suivant la trame indiquée ci-dessus, de détailler les diverses transformations algébriques, factorisations, prétraitements (préconditionnement, équilibrage, …), utilisées pour la construction d’algorithmes bien adaptés à certaines classes de matrices ou exploitant des propriétés numériques particulières.
I- Résolution des systèmes linéaires
1. Matrices symétriques et définies positives : méthodes polynômiales de Chebyshev et propriétés - méthode de la plus forte pente et propriétés - directions A-conjuguées - espaces de Krylov et méthode du gradient conjugué - Analyse de la convergence - Préconditionnement (diagonal, bloc diagonal, décomposition de domaine et complément de Schur, factorisations incomplètes, déflations, transformations polynômiales ...) et algorithmes - accélération d’une méthode itérative stationnaire symétrisable par le gradient conjugué - équations normales : CGNE et CGNR - gradient conjugué par blocs et propriétés
2. Matrices symétriques indéfinies : algorithmes MINRES et SYMMLQ
3. Bidiagonalisation et SVD : algorithme LSQR - application à la résolution de problèmes de moindres carrés linéaires
4. Matrices non-symétriques : algorithmes de GMRES, Bi-CGSTAB, QMR, …et propriétés - redémarrage - préconditionnement
II- Problèmes aux valeurs propres
1. Quelques techniques utiles : QR : Gram-Schmidt, Gram-Schmidt modifié, Householder, Givens - SVD
2. Transformation des problèmes : décompositions unitaires - décompositions non unitaires - équation de Sylvester
3. Les algorithmes pour la décomposition de Schur : décompositions de Schur partielle - décompositions de Schur réelle
4. Réduction sous forme Hessenberg supérieure : par transformation de Householder - par la méthode d’Arnoldi
5. Tridiagonalisation d’une matrice symétrique réelle : par la méthode de Lanczos - liens entre la méthode de Lanczos et le Gradient Conjugué

Mots clés

  • algèbre linéaire, méthodes de Krylov

Bibliographie

  • Matrix Algorithms Vol I et Vol II - Auteur : G.W. STEWART - Editeur : SIAM
  • Applied Linear Algebra - Auteur : J.W. DEMMEL - Editeur : SIAM

2 - Organisation de la matière

UE utilisant cette matière

UE Promotions
NIC2 - MMA : Majeure Mathématiques Appliquées Ingénieur ENSEEIHT Informatique 2ème année Majeure Maths

Volume horaire

Element Volume horaire
Cours magistral 9.0
Travaux pratiques 8.0
Total 17.0

Examens

Type Forme Coefficient
Contrôle continu Ecrit 1.5
Contrôle continu Projet 2.0

3 - Contacts

Responsables

  • Guivarch Ronan

Enseignants

  • Guivarch Ronan